MỤC LỤC

 

 

      A. Phần mở đầu

  1. Lí do chọn đề tài

 

  1. Mục đích đề tài

 

  1. Nhiệm vụ đề tài

 

  1. Đối tượng nghiên cứu

 

  1. Phương pháp nghiên cứu

 

  

  B. Phần nội dung

                  Chương I: Cơ sở lí luận

 

                  Chương II: Thực trạng vấn đề

 

                  Chương III: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

 

                  Chương IV: Một số điểm cần lưu ý khi chứng minh bất                                                                                                                                                                                                                                                                                        đẳng thức

 

  

 C. Phần kết luận

  1. Kết luận

 

  1. Khuyến nghị

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trang

 

2

 

2

 

3

 

3

 

3

 

 

 

 

4

 

6

 

8

 

14

 

 

 

 

16

 

16

 

 

 

 

 

 

 

A. PHẦN MỞ ĐẦU

 

I. Lý do chọn đề tài:       

Bất đẳng thức là một mảng kiến thức rất quan trọng và có ứng dụng phong phú trong chương trình Toán phổ thông. Từ khi bắt đầu được học về bất đẳng thức thì các bài kiểm tra, các bài thi học kỳ, đặc biệt bài thi vào PTTH luôn có ít nhất là một bài liên quan đến bất đẳng thức. Nhưng một điều có thể dễ dàng nhận thấy là trong chương trình sách giáo khoa, những kiến thức liên quan đến bất đẳng thức, nhất là những phương pháp chứng minh bất đẳng thức là không nhiều, chỉ được đề cập đến dưới dạng để biết chứ chưa đủ để hiểu sâu và vận dụng. Chỉ nói đến bất đẳng thức Côsi – một bất đẳng thức rất quen thuộc và hay sử dụng nhưng không phải học sinh nào cũng biết và có thể chứng minh được. Việc vận dụng bất đẳng thức này vào việc chứng minh các bài toán khác lại còn khó khăn hơn. Do đó, gặp những bài toán về bất đẳng thức, học sinh thường lúng túng và rất dễ mất điểm của bài toán này.

Từ việc biết đó là một bất đẳng thức đến việc giải bất đẳng thức lại là một vấn đề không hề đơn giản. Học sinh vẫn chỉ dừng ở mức thụ động và làm bài một cách hết sức máy móc mà chưa thực sự hiểu bài toán đó thuộc dạng nào. Vì vậy, việc hệ thống lại và đưa ra một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng như cách vận dụng những phương pháp đó là một điều hết sức cần thiết giúp học sinh hiểu hơn, bổ sung thêm kiến thức trong sách giáo khoa. Nó cũng giúp củng cố lại những kiến thức đã học. Nhất là đối với những học sinh khá giỏi muốn tìm hiểu thêm về môn Toán, đặc biệt là về bất đẳng thức thì với những kiến thức trong sách giáo khoa quả thực là chưa đủ để thỏa mãn niềm đam mê của các em. Mặt khác, lên cấp PTTH, học sinh sẽ được học nhiều về bất đẳng thức, nhất là các bất đẳng thức lượng giác. Vì vậy, ngay từ bây giờ, các em cần phải có một hệ thống kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức để từ đó có thể tiếp thu những kiến thức tiếp theo một cách dễ dàng và chủ động hơn.

Có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức. Trong đề tài này, tôi chỉ xin phép đưa ra “ một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán THCS” được sử dụng phổ biến. Tôi hy vọng sẽ giúp học sinh, nhất là học sinh khá giỏi bớt khó khăn, lúng túng tiến tới tự mình giải được các bài toán liên quan đến bất đẳng thức và khi đó các em sẽ thấy đó là những bài toán lí thú.

 

II. Mục đích nghiên cứu:

          Trong chương trình Toán THCS, các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường khó, học sinh khá giỏi mới giải quyết được. Làm thế nào để học sinh tiếp thu bài tốt nhất và có kết quả học tập cao nhất là vấn đề mà giáo viên luôn trăn trở. Đối với bài toán chứng minh bất đẳng thức, có nhiều con đường dẫn đến đích trong đó có những cách giải ngắn gọn, hợp lý, độc đáo và sáng tạo. Sử dụng hợp lí các phương pháp chứng minh bất đẳng thức góp phần nâng cao chất lượng dạy và học về bất đẳng thức.

 

III. Nhiệm vụ nghiên cứu:

          Trong những năm qua, trường THCS Yên Mỹ đã đẩy mạnh nâng cao chất lượng dạy và học năm sau cao hơn năm trước. Tuy nhiên việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán làm chưa thật tốt, chất lượng chưa cao, lực lượng mũi nhọn tham gia các kỳ thi của Huyện và Thành phố còn mỏng hoặc chưa có. Trên cơ sở tìm hiểu nguyên nhân của thực trạng đó, tôi tiến hành nghiên cứu và hệ thống lại các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong trường THCS. Kế hoạch này được xây dựng từ năm 2008 và triển khai trong từng năm học.

 

IV/ Phạm vi và đối tương nghiên cứu:

          Là các em học sinh trường THCS Yên Mỹ - Thanh Trì – Hà nội ( 2008 - 2012)

Bất đẳng thức là một chuyên đề khá phức tạp và có ứng dụng phong phú. Tuy nhiên, trong đề tài này, tôi chỉ tập trung nghiên cứu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong phạm vi nội dung của Toán học THCS với mức độ từ cơ bản đến nâng cao, nhưng không quá khó, phù hợp với trình độ chung của học sinh cấp THCS.

 

V/ Phương pháp nghiên cứu:

  • Nghiên cứu lí luận, thu thập tài liệu.
  • Điều tra, phỏng vấn
  • Quan sát
  • Thực nghiệm sư phạm, tổng kết kinh nghiệm.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B. PHẦN NỘI DUNG

Chương I: Cơ sở lý luận

1.1. Khái niệm:

Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng.

Kí hiệu “a < b” có nghĩa là “a nhỏ hơn b

Kí hiệu “a > b” có nghĩa là “a lớn hơn b

Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt, ngoài ra ta còn có “a ≥ b” có nghĩa là “a lớn hơn hay bằng b” và “a ≤ b” có nghĩa là “a nhỏ hơn hay bằng b”.

Sách giáo khoa đưa ra khái niệm bất đẳng thức như sau: Ta gọi hệ thức dạng a<b (hay a > b, a ≥ b, a ≤ b) là các bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.

Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được gọi là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm.

Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là:

  1. Bài toán chứng minh bất đẳng thức.
  2. Bài toán giải bất phương trình.

1.2. Các tính chất

- Tính chất bắc cầu:  a < b và b < c thì a < c

- Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a > b Þ a + c > b + c

- Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a > b; c > 0 Þ ac > bc

                  a > b; c < 0 Þ ac < bc

- Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều thì được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d Þ a + c > b + d

- Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b, c < d Þ a – c > b – d. (Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều).

- Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm:

a > b ≥ 0, c > d ≥ 0 Þ ac > bd

- Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức:

a > b > 0 Þ an > bn ;

a > b Û an > bn  với n lẻ ;

|a| > |b| Û an > bn   vớin chẵn.

  • So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương:

Nếu m > n > 0 thì: a > 1 Þ am > an; a = 1 Þ am = an; 0 < a < 1 Þ am < an.

- Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu:

            a > b , ab > 0 Þ

Các hằng bất đẳng thức:

 . Đẳng thức xảy ra a = 0.

. Đẳng thức xảy ra .

. Đẳng thức xảy ra .

. Đẳng thức xảy ra  ab > 0 và .

1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng

. Đẳng thức xảy ra a = b.

 với a, b > 0. Đẳng thức xảy ra  a = b.

 với ab > 0 . Đẳng thức xảy ra a = b.

. Đẳng thức xảy ra x = y.

Bất đẳng thức Cosi: ,  với a . Đẳng thức xảy ra  a = b.

 với a, b, c là các số không âm. Đẳng thức xảy ra a=b=c.

Bất đẳng thức Bunhiakopski:

. Đẳng thức xảy ra .

. Đẳng thức xảy ra .

Bất đẳng thức tam giác : Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:

a + b >c; a + c > b; b + c >a

1.4. Tâm lí lứa tuổi học sinh THCS:

- Có khả năng phân tích, tổng hợp phức tạp.

- Biết sử dụng phương pháp đặc biệt để ghi nhớ.

- Thay đổi từ tư duy hình tượng, cụ thể sang tư duy trừu tượng.

- Cảm giác mình là người lớn, muốn được thể hiện, tự khẳng định mình.

- Luôn muốn tìm hiểu cái mới nhưng dễ chán nản.

Chương II: Thực trạng vấn đề nghiên cứu

2.1. Đặc điểm của cơ sở nghiên cứu:

          Yên Mỹ - Thanh Trì là một xã nằm ven sông Hồng thuộc ngoại thành Hà Nội, là địa phương có quy mô nhỏ nhất huyện Thanh Trì, nhân dân trong xã chủ yếu làm nghề nông, các em học sinh phần lớn xuất thân từ gia đình nông dân, cuộc sống còn nhiều khó khăn nên ngay từ khi còn nhỏ các em đã phải làm quen với lao động phụ giúp gia đình.

          Phát huy truyền thống xã anh hùng, làng văn hoá, trong những năm gần đây, các phong trào của trường THCS Yên Mỹ đã được chú trọng và đẩy mạnh, đặc biệt là phong trào học tập, chất lượng học tập ngày càng được nâng cao, số lượng giáo viên giỏi, học sinh giỏi tăng theo từng năm học. Đặc biệt, năm học 2010 – 2011, trường đã đạt danh hiệu tập thể tiên tiến xuất sắc cấp Thành phố.

a) Thuận lợi:

- Phong trào thi đua dạy và học của trường THCS Yên Mỹ được sự quan tâm của các cấp lãnh đạo từ Huyện đến địa phương và nhà trường.

- Đội ngũ giáo viên phần lớn là giáo viên trẻ, nhiệt tình, tâm huyết với nghề, nhanh chóng áp dụng được các phương pháp dạy học mới, hiện đại.

- Đa phần học sinh là ngoan, có đạo dức tốt.

- Cha mẹ học sinh quan tâm đến hoạt động dạy và học.

b) Khó khăn:

          - Toán chứng minh bất đẳng thức là một dạng toán khó đối với học sinh.

          - Do đặc thù là một trường ngoại thành, môi trường giao tiếp, quan hệ với bên ngoài chưa được mở rộng nên học sinh còn thụ động, thiếu tự tin.

          - Kinh nghiệm của giáo viên trẻ chưa nhiều.

2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

          Trong những năm qua, trường THCS Yên Mỹ đã tổ chức có hiệu quả việc nâng cao chất lượng dạy và học, góp phần quan trọng vào việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện. Tuy nhiên, công tác tập trung bồi dưỡng học sinh mũi nhọn tham gia các kỳ thi học sinh giỏi môn Toán chưa tốt, chất lượng chưa cao, điểm môn Toán thi vào Trung học phổ thông mới chỉ xếp thứ 6 trong huyện.

          Trước thực trạng trên, một câu hỏi luôn thường trực trong tôi: Làm thế nào để học sinh làm tốt các bài tập chứng minh bất đẳng thức? Ý định này nung nấu trong tôi. Tôi bắt đầu đi tìm hiẻu nguyên nhân từ đó đưa ra các phương pháp, biện pháp thích hợp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học toán về bất đẳng thức.

2.3. Nguyên nhân của thực trạng:

a) Nguyên nhân khách quan:

- Sách giáo khoa chưa cung cấp đầy đủ các bài tập mẫu cho các kiến thức đã học thuộc các dạng khác nhau.

- Tài liệu chuyên đề về bất đẳng thức cho học sinh chưa nhiều.

b) Nguyên nhân chủ quan:

- Đối với học sinh phổ thông, bất đẳng thức là một chuyên đề phức tạp. Phần đông các em đều không giải được bài toán bất đẳng thức và các bài toán có liên quan. Một phần là do các em chưa nắm được các bất đẳng thức cơ bản, các tính chất của bất đẳng thức; một phần là do các em chưa biết cách vận dụng các bất đẳng thức này như thế nào vào việc giải toán, nhất là các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khả năng tiếp thu của một số học sinh còn hạn chế.

          - Một số giáo viên ngại đề cập đến những vấn đề khó bởi nó đòi hỏi giáo viên phải có kinh nghiệm, đầu tư nhiều thời gian và công sức.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Chương III: Một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức

3.1. Phương pháp dùng các phép biến đổi tương đương.

Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.

Nếu  A < B   C < D, với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B .

Chú ý các hằng đẳng thức sau:

                    

                              

                     

          Ví dụ 1: Cho xy  1. Chứng minh rằng:

          Giải:  Ta có: *

          *  *  

          *   

Bất đẳng thức cuối này đúng do xy  1 .Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2:  Chứng minh rằng:    với a > 0, b > 0, a ≠ b.

Giải:  Ta có: (1)

  (2)

Do a ≠ b nên bất đẳng thức (2) đúng, vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Ví dụ 3: Cho a, b là các số thực, chứng minh rằng:

Giải: 

                  

Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy . Dấu “=” xảy raa=b= 1

Ví dụ 4: Chứng minh rằng:

Giải: Ta có:

Tương tự:,

Cộng theo vế (1), (2), (3), ta được:    (*)

Ta có:

Tương tự: ,

Cộng theo vế (4), (5), (6), ta được:     (**)

Từ (*) và (**) ta  được:   (đpcm)

3.2. Phương pháp xét hiệu:

Kiến thức:

Để chứng minh A ≥ B, ta xét hiệu A – B và chứng minh rằng A–B ≥ 0.

                     Lưu ý: M 0  với "M

Các bước chứng minh:

Bước 1: Ta xét hiệu  H = A - B

Bước 2: Biến đổi H = (C+D)hoặc H = (C+D)+….+ (E+F)

Bước 3: Kết luận A ³ B

Ví dụ 1: " x, y, z chứng minh rằng :

               a) x + y + z   xy+ yz + zx

               b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz

                       ­c) x + y + z+ 3  2 (x + y + z)

Giải:

  1. Ta xét hiệu: x + y + z- xy – yz – zx  =.2( x + y + z- xy – yz – zx)

=, "x;y;z. Đẳng thức xảy ra  x = y = z

b) Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z-  2xy +2xz –2yz

= ( x – y + z),  "x;y;z. Đẳng thức xảy ra  y-x =z

c) Ta xét hiệu:

x + y + z+ 3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y - 2y + 1 + z- 2z +1

= (x - 1)+ ( y - 1) + (z - 1) 0. Đẳng thức xảy ra x = y = 1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng :

a)   ;    b)    c)  Tổng quát bài toán

Giải:

a) Ta xét hiệu: = 

 = =

         Vậy  . Đẳng thức xảy ra  a = b

b) Ta xét hiệu: =.

Vậy, . Đẳng thức xảy ra  a = b =c

c)Tổng quát:

3.3.  Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức.

Ví dụ 1: Cho a + b > 1. Chứng minh rằng .

Giải:      Ta có:  a + b > 1 > 0.                                          (1)

Bình phương hai vế:       (2)

Mặt khác,                     (3)

Cộng từng vế của (2) và (3) được:  2(a2 + b2) > 1 Þ  a2 + b2 >         (4)

Bình phương hai vế của (4): a4 + 2a2b2 + b4 >               (5)

Mặt khác,                (6)

Cộng từng vế của (5) và (6) được:  (đpcm)

Ví dụ 2:  a ,b ,c ,d > 0.

Chứng minh rằng:

Giải: Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có

                                 (1)

                              (2)

  (3)

                                   (4)

          Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :

                      

Ví dụ 3: Cho:< và b, d > 0. Chứng minh rằng:   <

Giải: Từ <  . Vậy, <   

 

3.4. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết.

          Ví dụ 1: Cho a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác.

Chứng minh rằng:

          Giải: Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có:

 a, b, c > 0 và a < b +c;  b < a + c; c  <  a + b (1)

           Từ  (1)  . Mặt khác 

          Vậy ta có:   

Tương tự ta có:   ;

           Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:       

     

Ví dụ 2:  Cho các số dương a, b, c.

Chứng minh:

Giải:  Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số không âm, ta có:

. Do đó:

Tương tự: ;

Cộng từng vế ta được      

Đẳng thức xảy ra  a + b + c = 0 trái với giả thiết a, b, c là 3 số dương.

Vậy đẳng thức không xảy ra. Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3: Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1

Chứng minh rằng 

Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c). Ta có:             **  

Ví dụ 4: Cho a,b,c là các số dương.

Chứng minh rằng:   (1)

Giải: (1) *  

* 

áp dụng bất đẳng thức  với x,y > 0. Ta có           

3.5. Phương pháp phản chứng.

          Kiến thức: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý, điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết, có thể là điều trái ngược nhau. Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.

Ví dụ 1: Cho 4 số a ,b ,c ,d  thỏa mãn điều kiện ac  2.(b+d).

Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:;

          Giải:

          Giả sử 2 bất đẳng thức: ,  đều đúng khi đó cộng các vế ta được:

(1). Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac    (2)

          Từ (1) và (2)      hay (vô lý)

          Vậy trong 2 bất đẳng thức   và  có ít nhất một các bất đẳng thức sai.

Ví dụ 2: Cho 3 số tự nhiên a, b, c thoả mãn:

Chứng minh rằng 3 số a, b, c dương.

Giải: Giả sử trong 3 số a, b, c có một số không dương. Không giảm tính tổng quát, ta có thể xem a ≤ 0. Từ (3) suy ra a < 0; từ (1) suy ra b+c > 0. Vậy, a ( b + c) < 0.

Từ (2) suy ra bc + a(b+c) > 0 Þ bc > 0. Nhân cả hai vế với a ta được abc < 0 (mâu thuẫn với (3)). Vậy cả 3 số a, b, c dương. Ta có điều phải chứng minh.

 

3.6. Phương pháp làm trội, làm giảm.

Kiến thức: Để chứng minh A<B, ta làm trội A thành C (A < C) rồi chứng minh  C≤ B. Để chứng minh A>B, ta làm giảm A thành C (A > C) rồi chứng minh rằng C ≥ B.

Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n >1,

chứng minh rằng: 

          Giải: Ta có , với  k = 1, 2,.. , n-1

           Do đó:

Ví dụ 2:  

Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có:

Giải: Ta thấy rằng : ; ;    . Cộng từng vế của cả 3 bất đẳng thức, ta được:

         (đpcm)

Ví dụ 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau :

               a)    b)

          Giải: 

           a) Ta có :

                   

           b) Ta có:

           <    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Chương IV: Một số điểm cần lưu ý khi chứng minh bất đẳng thức

4.1. Khi chứng minh bất đẳng thức, trong nhiều trường hợp ta cần xét từng khoảng giá trị của biến.

Ví dụ: Chứng minh rằng  .

Giải: Đặt  

       =  = .

  • Nếu x ≥ 1 thì x7 ≥ 1. Do đó , mà x2 ≥ 0 x nên A > 0.
  • Nếu x < 1 thì x7 < 1. Do đó  > 0, với x2 ≥ 0 x ta vẫn có A>0.

Vậy  x (đpcm).

 

4.2. Khi chứng minh bất đẳng thức, nhiều khi ta phải đổi biến.

Ví dụ 1: Cho a, b, c > 0  Chứng minh rằng  (1)

Giải: Đặt x = b + c; y = c + a ; z = a + b 

Ta có a=  ;   b =  ; c =

(1)  * 

 *( . Bất đẳng thức cuối cùng đúng.

 

Ví dụ 2: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng .

Giải: Đặt . Do a+ b + c = 1 nên x + y + z = 0.Ta có:

, x, y, z. Dấu “=” xảy rax= y = z = 0 Û a=b=c= .

 

4.3. Với các bất đẳng thức mà biến có vai trò như nhau, ta có thể sắp thứ tự các biến.

 Ví dụ: Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài  cũng lập được thành một tam giác.

Giải:

Do vai trò của a, b, c như nhau, ta giả sử rằng . Theo đề bài, vì a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nên có b + c > a.

Suy ra   Þ

Vì a, b, c ≥ 0 nên suy ra .

Chứng minh tương tự ta cũng có các bất đẳng thức tam giác còn lại.

Vậy 3 đoạn thẳng có độ dài  cũng lập được thành một tam giác.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C. PHẦN KẾT LUẬN

 

I. Kết luận

Trên đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà tôi đã hệ thống được. Nhưng, cũng giống như nhiều vấn đề khác, để giải được một bài toán, cụ thể ở đây là một bài toán về bất đẳng thức, hầu như chúng ta không thể giải được chỉ với một phương pháp duy nhất. Mỗi bài toán có một cái hay riêng, có một cách giải riêng, nhưng để thực sự giải quyết được bài toán, chúng ta cần phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp đó để tìm tòi, nghiên cứu, tìm ra cách giải hay nhất, phù hợp nhất. Chẳng hạn có những bài toán sử dụng phương pháp biến đổi tương đương là hiệu quả nhưng với bài toán khác thì lại đòi hỏi những tính toán phức tạp mà nếu biết vận dụng phương pháp phù hợp thì có thể sẽ tìm ra lời giải ngắn gọn, rõ ràng và độc đáo. Điều đó hoàn toàn phụ thuộc vào khả năng tư duy và sáng tạo của mỗi người. Và đôi khi, chỉ một chú ý nho nhỏ cũng sẽ làm cho một bài toán phức tạp trở nên dễ dàng hơn nhiều.

 

II. Khuyến nghị:

Trong qu¸ tr×nh häc tËp, học sinh thường không chú ý tới những bài giảng của giáo viên về bất đẳng thức vì cho rằng nó không quan trọng hoặc cảm thấy rằng làm bài giải bất đẳng thức là quá sức, khó khăn. Đó là do tâm lý lười suy nghĩ và tính tự ti của học sinh về khả năng học toán của mình. Vì vậy để làm cho học sinh hiểu, yêu môn toán và bỏ qua mặc cảm là một vấn đề khá đau đầu với nhiều giáo viên. Để làm được việc này, giáo viên chúng ta phải có một hệ thống phương pháp cụ thể và chính xác.

Trên đây, tôi đã tổng kết một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và đưa ra các hướng giải quyết cho từng vấn đề nhằm giúp học sinh có những định hướng cần thiết. Đồng thời học sinh nắm được cách trình bày lời giải của những vấn đề đó. Tuy nhiên để học tốt nội dung này học sinh cần có thời gian luyện tập nhiều. Trong quá trình giảng dạy, tôi đã thử nghiệm ở các đối tượng học sinh, đặc biệt là đối với học sinh khối 9 trường THCS Yên Mỹ và thấy rằng gây được hứng thú học tập cho học sinh, điều quan trọng hơn là phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong học tập, chất lượng học tập được nâng cao.

          Qua thực tiễn giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm sau:

          Một là, giáo viên cần xây dựng hệ thống các bài toán chứng minh bất đẳng thức và phương pháp giải. Để nâng cao được chất lượng học tập của học sinh, giáo viên cần có sự chuẩn bị chu đáo cho mỗi bài giảng, nghiên cứu, tìm tòi các loại sách tham khảo để tìm lời giải hay và phương pháp ngắn gọn nhất cho một bài toán. Khi soạn bài tập phải chọn lọc từ dễ đến khó, phù hợp với từng đối tượng học sinh.

          Hai là, phải kiểm tra kỹ lưỡng sự chuẩn bị bài, học thuộc và nắm chắc các khái niệm, các định lí, tính chất …của học sinh, phát hiện những vướng mắc, những sai xót thường gặp của học sinh để giúp các em khắc phục. Phải rèn cho các em có ý thức học tập, tinh thần học tự giác cao, có phưong pháp học hợp lí.

          Ba là, đưa nội dung chứng minh bất đẳng thức vào trong các bài kiểm tra, khuyến khích học sinh vận dụng linh hoạt các kiến thức, kỹ năng vào các tình huống thực tế.

          Để dạy tốt dạng toán chứng minh bất đẳng thức, tôi xin có một số khuyến nghị sau:

  1. Với giáo viên, lực lượng trực tiếp giảng dạy cần có tài liệu tham khảo.
  2. Cần tổ chức các chuyên đề về chứng minh bất đẳng thức tại các cụm trường để các giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi.

Là giáo viên trẻ, kinh nghiệm không nhiều, tuy nhiên để đạt được kết quả trên đây là cả một sự học hỏi, nỗ lực không ngừng của bản thân cùng với sự quan tâm chỉ đạo về chuyên môn của Ban giám hiệu và sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp. Tuy đã cố gắng tìm tòi, nghiên cứu nhưng do trình độ và thời gian có hạn chắc chắn đề tài không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Tôi rất mong được Hội đồng khoa học các cấp, các bạn đồng nghiệp trao đổi, góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn.

 

Xin chân thành cảm ơn!

 

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Hà Nội, ngày 05 tháng5 năm 2012

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

 

 

 

 

Trần Thị Hà